La théorie des files d’attente tire son origine des recherches de l’ingénieur danois Agner Krarup Erlang entre 1909 et 1920. Ce dernier étudiait le concept de la file d’attente des systèmes téléphoniques dans les centres d’appels de Copenhague. Depuis, plusieurs mathématiciens se sont intéressés aux files d’attente et ont développé les modèles mathématiques de cette théorie.

L’objectif de ce post est de nous aider à comprendre comment la théorie des files d’attente nous renseigne sur les retards (files d’attente) et comment des changements simples peuvent aider à les réduire.

1. Un résultat contre-intuitif

D’après un article dans le monde, depuis la baisse de la vitesse maximale autorisée de 80 à 70 km/h sur le périphérique, les accidents ont baissé de 15,5%. Cette baisse a également provoqué une hausse de la vitesse moyenne de circulation, de 32,6 km/h en 2013 à 38,4 km/h en 2014, soit une progression de 18%. La mesure s’est accompagnée d’une explosion du nombre d’infractions 461596 infractions en 2014 contre 138138 en 2013, soit une augmentation de plus 3 fois.

Eh oui ! Rouler moins vite pour arriver plus vite peut prêter à sourire, mais c’est ce que nous avait prédit la théorie.

2. Effet du taux d’occupation sur les temps d’attente

Le temps d’attente ne croît pas d’une façon linéaire en fonction de l’accroissement de la demande : une augmentation de 10 % de la demande causera une augmentation de plus de 10 % de la file d’attente.

Et lorsque l’utilisation se rapproche de la barre de 100 %, le temps d’attente moyen s’élève à une valeur très importante encore plus rapidement.

3. Effet de la variabilité des délais de service

Si l’on supprime toutes les variabilités du système le modèle prédit que l’on va réduire le temps moyen d’attente de moitié.

La variabilité se retrouve aussi bien sur l’apparition de la demande que sur le temps de réalisation.

Si l’on peut réduire la variabilité du système, on réduira nettement le temps d’attente.

4. Pourquoi les files d’attente augmentent avec la variabilité ?

Partons d’une variabilité sur les demandes :
– Lorsque la demande est sur un pic, donc la demande est forte,
– le système se retrouve en surcharge,
– ce qui crée des files d’attente,
– et engendre de la variabilité sur le temps de réalisation,
– puis finit par engendrer des files d’attente.

L’effet est amplifié sur un système complexe avec un temps de cycle long et de nombreux assemblages.

5. Effet du nombre de personnes assurant le service

En dessous de 80 % du taux d’utilisation, si les ressources mises en commun sont nombreuses, on ne constate pas d’augmentation du temps d’attente.

Lorsque l’on se rapproche de 100 % du taux d’utilisation, le temps d’attente moyen peut grimper d’une manière très rapide dès l’augmentation de la demande.

La mise en commun des ressources n’est pas conseillée lorsque ces moyens sont tous utilisés à un niveau élevé. Nous n’aurions alors qu’un faible avantage et l’inconvénient du risque de blocage brutal du système.

6. Ce qu’il faut retenir

La théorie des files d’attentes nous renseigne sur 3 aspects principaux :
– l’effet de l’utilisation de la ressource,
– l’effet de la variabilité de la demande ou du temps de réalisation,
– l’effet de la mise en commun des ressources.

Pour contraindre un système de production, trois paramètres suffisent. Si l’on fige le nombre d’éléments dans l’encours (donc le temps de cycle), la loi de Little permet de simplifier le pilotage en passant de trois à deux indicateurs :
– le temps de réalisation ou simplement l’activité ou rendement,
– le débit, qui correspond pour une unité de production à la cadence de l’atelier.

7. Sources et références
– Kanban pour l’IT - de Laurent Morisseau - en 2014
– Simulation, modélisation et décision - de Jean-Philippe Rennard, Marc Humbert, Raffi Duymedjian - en 2009
A proof for the queuing formula - de Jhon D. C. Little - en 1960
– La théorie des files d’attente - de David Stanford - en 2013
– Programmation dynamique, chaînes de Markov, files d’attente - de Frédéric Sur - en 2014

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